• Indice d'Aspettabilità
• Colonna dei ritardi
• Sistemistica
• Principali formazioni
• Fondamenti di statistica
• Calcolo Combinatorio

Prendiamo come esempio la configurazione vista per la costruzione della Colonna dei ritardi

Ricordando che il Lotto è un gioco di tipo "bernoulliano" cioè di prove ripetute (ovvero di estrazioni ) aventi tutte la stessa probabilità p di successo, mentre quella di insuccesso è indicata con q, dato da q=1-p; nel nostro caso, riferendoci al semplice estratto, si ha p=1/18 e q=17/18. In un qualsiasi esperimento bernoulliano si comincia con una prima prova, seguita da una seconda, da una terza e così via fino all'infinito, considerando tutte le prove come un tutt'uno, e ci si chiede quale sia la probabilità pn che un numero sia estratto alla n-esima prova. A titolo esemplificativo prendiamo il numero 66 (che appare in basso a sinistra nell'esempio dato) e immaginiamo di vederlo spostare ad ogni estrazione nella riga immediatamente superiore ; allora la teoria di Bernoulli afferma che la probabilità pn che il numero cada (esca) alla n-esima estrazione è pn=p x q(n-1). In pratica si può immaginare lo schema seguente:

Prova 1 2 3 4 .... n ...
Probabilità p1 p2 p3 p4 ....pn ...
(ovvero) p x p x q x p x q2 x p x q3 ....p x q(n-1)

E' facile verificare che la somma P di tutti i pn (con n da 1 a infinito) è uguale all'unità , ovvero la serie pn è una distribuzione di probabilità ( il fatto che la somma è uguale all'unità ci assicura che l'evento deve prima o poi avverarsi per un n qualsiasi). Ora, quando noi effettuiamo il primo colpo (estrazione), cioè vogliamo applicare p1, il nostro numero giace già nella colonna dei ritardi dall'ultima estrazione precedente, perciò esso si trova al primo ritardo della nostra prova cioè al ritardo RT=1 (tant'è vero che può risultare immediatamente ri-estratto ) Nel discutere del primo valore del ritardo si è di fatto considerato anche il significato della riga n : essa ci consente di dire immediatamente la probabilità pn di caduta (di estrazione) di un numero alla n-esima prova. In altre parole la serie pn è una distribuzione di "probabilità di caduta" o di successo. E' facile rendersi conto che pn decresce continuamente al crescere di n ; ogni termine è minore del precedente per il fattore q ; quindi il valore maggiore si ha per n=1 ( p1=p) . Si osservi anche, che per n grande la probabilità diventa piccolissima ma non è mai uguale a zero ; da ciò una sicura conclusione : non esiste un limite teorico massimo per l'uscita di un numero perché n va fino all'infinito. E' possibile, in alternativa, costruire una seconda serie numerica basata su q (cioè sulla probabilità di insuccesso). Se indichiamo con qn il termine generico di questa serie, esso ci dovrà dare la probabilità che un numero sia ancora "in piedi" (cioè non sia stato ancora estratto) prima di effettuare il colpo n e quindi si trovi registrato nel tabellone al ritardo RT=n. Perché ciò accada devono essere andati a vuoto gli (n-1) colpi precedenti ; pertanto è necessario moltiplicare (n-1) volte il fattore q ottenendo: qn = q(n-1)

Si noti che per n=1 si ha q1= 1 (qualunque numero diverso da zero elevato a zero è uguale ad 1) ; infatti, per tornare all'esempio precedente il numero 66 è già lì che aspetta di essere sottoposto alla prima prova. La serie qn non è però una distribuzione di probabilità. Infatti è facile fare la somma Q di tutti i termini ottenendo:

Q = 1 + q + q2 +…. = 1/(1-q) = 1/p

cioè l'inverso della probabilità . Nel nostro caso, essendo 1/p=18 si ha Q=18 e non sfuggirà al lettore che 18 è un quinto di 90. Ciò significa che se moltiplichiamo la serie Q per 5, considerando i cinque numeri iniziali insieme, si ottiene 90, cioè il totale dei numeri in gioco. In altre parole, la serie qn non è una distribuzione di probabilità ma rappresenta una distribuzione statistica : essa ci dice (moltiplicata per 5) quanti dei 90 numeri sono (teoricamente) presenti nella riga al ritardo RT=n. Cioè la statistica Q è una "statistica di presenza". Come tale essa ha grandi applicazioni nello studio del Lotto.